?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry Share Next Entry
Дерево з мозаїки Пенроуза
dragon
nekrashevych
penrose


  • 1
почитала із задоволенням, хоч і не все до кінця зрозуміла, особливо коли формули почалися, то навіть не намагалася вникати - надто далеко за 17 років відійшла від формул :) але зато від картинок отримала масу задоволення...

це не зовсім те саме, але останні кілька років якраз час від часу "медитувала" над магією чисел в просторі коли писанки малювала, особливо справжні безконечники, бо тоді штука і "магія" в тому, що для того щоб повністю покрити сферичну поверхню безконечником, обов'язково з'являться певні числа і кількості (кутів, сорін, ліній, перетинів, сегментів), і таким чином в просторі взаємодіють, на приклад, трійки з четвірками певним необхідним чином...

з п'ятірками в писанках поки що не стикалася - хіба що з шістками і вісімками, але вони ж насправді ті самі трійки і четвірки. але зато пам'ятаю, як в якомусь мабуть десятому класі зробила картонну модель додекаедра на подарунок улюбленому директорові (він нас вчив математику), а ні, брешу, я робила ікосаедра - тобто все-таки трикутники...

значить тема п'ятикутників в мене не розкрита :) ну але я дивлюся на ту статтю в вікіпедії, і так виглядає, що теоретично можна її пробувати розкривати, бо ж додекаедр, то якраз сфера і є - треба тільки мабуть страусяче яйце, бо воно, кажуть, кругліше, - на курячому криві п'ятикутники мабуть виглядатимуть кепсько...

Edited at 2013-04-09 02:40 am (UTC)

Весь пафос мозаїк Пенроуза в тому, що площину і простір не можна замостити періодично мозаїками із п'ятикутною симетрією. Сфера - зовсім інша історія, як показує приклад додекаедра (і, насправді, спорідненого з ним ікосаедра). У зв'язку із цим мозаїки Пенроуза не періодичні, а квазіперіодичні: кожна частина зустрічається нескінченно часто, але всю мозаїку не можна пересунути так, щоб вона сама із собою співпала.

Так, я це приблизно розумію, мені власне цікаво було, що покриття сферичної поверхні має інші числові "закони" ніж покриття рівної, це для не-математика цілком counter-intuitive відкриття... Я мало не впала, коли виявилося, що для того, щоб покрити певним безконечником яйце знадобилося три лінії, бо, грунтуючи своє сприйняття на моделі плоскої поверхні, мені здавалося, що достатньо буде двох...
Про додекаедр з ікосаедром - там такий зворотній зв'язок, що в один кут в одному сходяться три п'ятикутники, а в іншому - п'ять трикутників, правильно?

Так, крім того центри граней одного є вершинами іншого. Так само куб спарений із октаедром, а тетраедр із самим собою.

Греки були дуже вражені правильними многогранниками, і вважали, що вони відповідають елементам: тетраедр - вогонь, куб - земля, далі я не пам'ятаю. Один із них був "п'ятим елементом". Кеплер у своїй першій роботі про сонячну систему вважав, що вона теж основана на правильних многогранниках. Він вписував їх по-черзі у сфери, а потім, здається описував навколо сфер, і таким чином описував радіуси орбіт Сонячної системи. Але потім він помітив, що ця теорія суперечить практиці, і відкрив справжні закони Кеплера.

ага, ми якраз про греків і їх трикутники згадували минулого тижня.
думаю, якби зараз був піфагор, я б за ним ходила по п'ятах :)

зараз я таке спитаю, що зразу стане ясно, наскільки мало я зрозуміла :)
то ті мозаїки - вони мають якийсь центр (звідки починаються), чи центри (?) навколо яких утворюється решта, чи ні?

У мозаїк Пенроуза ніякого спеціального центру немає. Звичайно, якщо ми хочемо намалювати малюнок, то він буде скінченним, і десь з чогось ми повинні почати.

Є, правда, дві чи три (серед нескінченного числа інших) у яких центр є. Вони мають стільки ж симетрій скільки симетрій має правильний п'ятикутник.

  • 1